高校物理で計算できる射方投射について、結果が実感できるような計算機にしました。高校では空気抵抗を考慮したときの軌道は計算できません。ですが、微分方程式を学ぶことで軌道の計算は理論上可能です。
自分で初速度を決めてボールを投げたら、どんな軌道を描いてボールが飛ぶのかがグラフで表現されます。
条件として、空気抵抗は速度に比例するものとし、重力加速度は9.8m/ssで計算しています。
ほかに変えられる変数は投げるときの地面とのなす角度です。角度は0°~９０°の範囲で入力してください。
赤線が空気抵抗を考慮し時の軌道です。
最長到達距離(抵抗なし): m
最高到達点(抵抗なし): m
左から投げだした結果
以下、どんな計算の上で空気抵抗のある軌道を計算しているのかの解説です。空気抵抗のない場合は、高校物理の教科書や、ネットにサイトに多数確認できますので、そちらを参照ください。
以下、位置の一回微分が速度、二回微分が加速度というのは前提知識としています。
まず、空気抵抗はその時の速度に比例するとして、以下の運動方程式が立てられます。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}
m\ddot{\vec{r}}=-mg\vec{e_y}-k\dot{\vec{r}}
\end{eqnarray}\tag{1} }}$$
rが位置ベクトル、上についてるドットは時間微分を意味します。e_yは地面に対して、上向きの単位ベクトルです。この式は、x,yの成分ごとに分けることができて、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}
m\ddot{x}=-k\dot{x}
\end{eqnarray}\tag{2} }}$$
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}
m\ddot{y}=-mg-k\dot{y}
\end{eqnarray}\tag{3} }}$$
角度θの方向に初速度を与えて投げることを想定して、初期条件を与えたうえで
それぞれの微分方程式を解くと
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}
x(t)=-\dfrac{mv_0~\mathrm{cos}\theta}{k}\mathrm{exp}\Big(-\frac{k}{m}t\Big)+\dfrac{mv_0~\mathrm{cos}\theta}{k}
\end{eqnarray}\tag{4} }}$$
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}
y(t)=-\dfrac{m}{k}\Big(v_0~\mathrm{sin}\theta +\frac{mg}{k} \Big)\mathrm{exp}\Big(-\frac{k}{m}t\Big)+\dfrac{m}{k}\Big(v_0~\mathrm{sin}\theta +\frac{mg}{k} \Big)-\dfrac{mg}{k}t
\end{eqnarray}\tag{3} }}$$
tを媒介変数としたx,yの時間変化が求められます。
上記の二式を連立して、変数ｔを消去することで以下の軌道を得ます。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}
y(x)=\dfrac{v_0~\mathrm{sin}\theta+\frac{mg}{k}}{v_0~\mathrm{cos}\theta}x+\dfrac{m^2g}{k^2}\mathrm{log}(1-\dfrac{m}{kv_0~\mathrm{cos}\theta}x)
\end{eqnarray}\tag{3} }}$$
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